Stamani mi sono svegliato con in testa ... la sezione aurea, la sezione aurea, la sezione aurea... e siccome sto invecchiando come tutti e non ricordavo esattamente (ma come potevo averlo scordato???) come fosse definita sono andata a cercare la definizione su
E li sono rimasto folgorato e improvvisamente mi si è RI-aperto un mondo.
Un modo magico. Quello che lega la matematica alla natura. Ed è veramente la sola parte della matematica che realmente trovo interessante, quasi divina.
Ed infatti la sezione aurea è detta anche
La divina proportione.
Eviterò di riportare formule matematiche limitandomi alla parte geometrica magica di per se solo a guardarla.
La Geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l’ altro è la Sezione Aurea di un segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d’ oro; il secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello. - Johannes Kepler [1571-1630] -
GEOMETRIA


Rettangolo e Triangolo aureo
Spirale Aurea
La sequenza di Fibonacci
La successione di Fibonacci è una successione ricorrente di numeri naturali: dati in qualsivoglia modo i primi due elementi, ogni altro elemento è la somma dei due precedenti. Ad ogni coppia di elementi iniziali corrisponde quindi una successione differente.
In verità la successione di Fibonacci fu da questi definita assumendo il numero 1 per i primi due elementi; la successione infatti rispondeva al seguente problema: “Quante coppie di conigli ci saranno dopo n mesi a partire da un’ unica coppia immatura, se ogni coppia diventa matura per la procreazione dopo un mese dalla nascita e genera ogni mese una nuova coppia?” La risposta è evidentemente la successione:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, .....
Questa successione ha molte curiose proprietà; ne riportiamo alcune:
- Ogni due numeri ve n’è uno divisibile per due, ogni tre numeri ve n’è uno divisibile per tre, ogni quattro numeri ve n’è uno divisibile per cinque, …,ogni n numeri vi è o un numero primo o un numero divisibile per lo stesso numero primo.
- Comunque si prendano due elementi, in posizione n-esima ed m-esima, il loro Massimo Comun Divisore è un elemento della successione di posizione p, M.C.D. tra n ed m.
- Il quadrato di ogni elemento differisce di uno (alternativamente in più o in meno) dal prodotto del precedente per il successivo.
- Sommando alternativamente gli elementi della successione (uno sì ed uno no) il risultato è sempre l’ elemento successivo all’ ultimo sommato.
Tutto questo è magico!!!!
La successione di Fibonacci è legata alla sezione aurea dal limite per
n che tende all'infinito (e in questo tendere all'infinito ho sempre pensatto che ci fose amore) il rapporto tra un numero ennesimo della sequenza e il suo consecutivo tende al numero aureo
E tra tutte le possibili proporzioni, quella aurea sembra essere la vera ispiratrice della bellezza, quindi del creato, quindi del Suo creatore, quindi Divina. (tu sei la mia proporzione aurea....)
MusicaAnche la musica non sfugge al fascino del rapporto aureo. Anzitutto le note: una scala completa (compreso il do della scala successiva) si compone di 5 diesis e 8 note, per un totale di 13 toni, e questi sono numeri di Fibonacci. Quindi il rapporto tra i toni dei Do di due scale successive è 2/1, il rapporto tra il tono di Do e quello di Sol è con ottima approssimazione 2/3 (per la precisione 0,7491…, la famosa diapente greca), il rapporto tra il Do ed il Fa è con buona approssimazione 3/5 (precisamente 0,6674…, detta sesta maggiore) ed il rapporto tra il Mi ed il Do successivo (Do2), è circa 5/8 (per la precisione 0,629…, detta sesta minore, complementare della terza maggiore Do-Mi), e così via; e questi sono rapporti tra numeri di Fibonacci. Infine un ambiente d’ ascolto, ma anche una cassa acustica, minimizzerà le risonanze se le dimensioni sono in rapporto aureo tra loro.
NaturaMa la sezione aurea si insinua anche nei regni della Natura e, come e e p, F è uno di quei misteriosi numeri naturali che sembrano essere alla base della struttura del cosmo.
Uno dei più classici esempi è il Nautilus, un mollusco dei mari tropicali; la sua conchiglia, sezionata, è una spirale aurea. Tra l’ altro il Nautilus viene considerato letteralmente un fossile vivente, essendo la sua specie antichissima; ha avuto quindi tutto il tempo per perfezionarsi; che sia nel perfetto equilibrio delle sue forme il segreto di tanta longevità?
Anche nel corpo umano troviamo rapporti aurei: l’ ombelico è posto ad un’ altezza che è in rapporto aureo con quella dell’ individuo con una tolleranza di qualche percento.
Ma è nei fiori, più che altrove, che la natura ha voluto ricordarci la sua sapienza matematica. Le varie specie di margherite e girasoli hanno petali in numero della successione di Fibonacci che abbiamo visto legata al rapporto aureo.
Le curve che si osservano in pigne ed ananas sono spirali logaritmiche, legate anch’ esse alla sezione aurea.
Ed ancora secondo spirali logaritmiche si succedono gli stami nelle corolle di margherite e girasoli.
Nel firmamento molte galassie hanno forma a spirale. Osservando attentamente le spirali sono logaritmiche; è presumibile che tali siano le traiettorie delle stelle attratte al centro della galassia. Ma quale forza imprime una tale traiettoria dal momento che tutte le forze a noi note comportano solo traiettorie coniche (ellissi, parabole o iperboli)?
OggiAncora oggi la sezione aurea è ampliamente utilizzata: le dimensioni standard di carte di credito, tessere telefoniche, badge per ogni applicazione, corrispondono (salvo tolleranze di fabbricazione) al rettangolo aureo.
Magia magia magia oppure divinità non trovo altre spiegazioni razionali!!
